Aléatoire : une introduction aux probabilités

Ce cours introduit le concept de Probabilité, dont la puissance permet de modéliser d'innombrables situations où le hasard intervient. Il est fondé sur le livre de Sylvie Méléard "Aléatoire : introduction à la théorie et au calcul des probabilités" qui résulte lui-même du cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique.

La modélisation probabiliste est fondamentale dans tous les domaines d'applications. Mentionnons la physique, l'informatique, les réseaux de télécommunications, la finance, l'assurance, la biologie et la médecine. Modéliser tant de situations différentes où le hasard intervient requiert un cadre général abstrait qui ne fut rigoureusement défini qu'en 1933 par Kolmogorov. 
C'est ce grand écart entre l'apparente simplicité de certains problèmes probabilistes concrets et l'abstraction que nécessite leur résolution qui peut
rendre le monde de l'aléatoire difficile voire inquiétant, mais c'est aussi ce qui en fait un domaine des mathématiques d'une grande richesse.

Le but de ce cours est d'en convaincre les étudiants par une introduction des notions de base de la théorie des probabilités. Il n'exige pas de pré-requis en théorie de la mesure et de l'intégration. Les outils d'analyse nécessaires à une bonne compréhension des objets probabilistes sont fournis au fur et à mesure de leur construction, mettant ainsi en lumière leur nécessité. 
Le contenu du cours va de la définition d'une probabilité au théorème de la limite centrale, et contient également un ouverture aux processus aléatoires.

Syllabus

Le cours se déploie de la manière suivante :

• Cours 1 : L'espace de probabilité (semaines 1-3)
  
• Cours 2 : Variables aléatoires sur un espace fini ou dénombrable (semaines 4-5)
  
• Cours 3 : Variables aléatoires réelles (semaines 6-7-8)
  
• Cours 4 : Vecteurs aléatoires (semaines 9-10)
  
• Cours 5 : Convergences et loi des grands nombres (semaines 11-12)
  
• Cours 6 : Fonctions caractéristiques, convergence en loi et théorème de la limite centrale (semaines 12-13)
  

Recommended Background

Les pré-requis mathématiques sont ceux des classes préparatoires aux grandes écoles ou de Licence 2, essentiellement en analyse (calcul différentiel et intégral, suites et séries, etc).

Suggested Readings

Ce cours repose sur l'ouvrage de Sylvie Méléard : "Aléatoire, introduction à la théorie et au calcul des probabilités" (2010), édité par Les éditions de l'École polytechnique. Il sera gracieusement mis à la disposition des étudiants sous forme de pdf.

Course Format

Chaque cours correspond en moyenne à 5-8 vidéos d'environ 20-25 minutes.
Il sera proposé des QCM et des séances d'exercices résolus.
Il y aura également des séances consacrées à la simulation de l'aléatoire.
Nous y présenterons notamment des expériences numériques interactives qui
seront mises à la disposition des étudiants. Celles-ci ne nécessitent aucune connaissance en informatique ni aucune installation de logiciel.

FAQ

Quel genre de certificat sera-t-il délivré pour ce cours ?

Il sera délivré un certificat d'assiduité.